STA103 : Calcul des probabilités (6 ECTS)

Pré-requis

Le cours suppose une formation élémentaire en mathématiques, en probabilités et en statistique. Avoir réussi les examens des UE : MVA101 (Analyse et Calcul matriciel), STA001 (Techniques de la statistique) ou des examens équivalents.
 

Objectifs

Donner les bases nécessaires à la compréhension des phénomènes aléatoires et à la statistique inférentielle.

Contenu

Notions de probabilités

• Modèle probabiliste
• Probabilités conditionnelles
• Théorème de Bayes
• Indépendance en probabilité

Variables aléatoires 

• Variable aléatoire réelle discrète : loi de probabilité, fonction de répartition, moments
• Variable aléatoire réelle continue : densité, fonction de répartition, moments

Lois usuelles

• Lois usuelles discrètes : Bernoulli, binômiale, géométrique, poisson
• Lois usuelles continues : uniforme, exponentielle, normale, gamma, bêta

Couple et vecteur aléatoires

• Couple de variables aléatoires discrètes : loi d'un couple, lois marginales, lois conditionnelles, moments conditionnels
• Couple de variables aléatoires continues : loi du couple, lois marginales, lois conditionnelles, moments conditionnels
• Vecteurs aléatoires

Fonctions génératrice et caractéristique

Lois de fonctions de variables aléatoires 

Lois empiriques

• Echantillon d’une loi
• Moments empiriques : moyenne, variance, moments d’ordre supérieur (centrés, non centrés)
• Loi normale vectorielle

Comportement asymptotique

• Convergence : en moyenne, en probabilité et en loi
• Inégalités : Markov, Bienaymé-Tchebychev, Jensen
• Lois des grands nombres : faible et forte
• Théorème central limite
• Convergence des lois usuelles

Compétences visées

Fournir des compétences théoriques et pratiques solides dans la compréhension et la modélisation des phénomènes aléatoires.